By Otto Forster
Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren.
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Content point » Research
Keywords » fastened element - Iterative approaches - Metric fastened element conception - Modular functionality area - Modular Metric area - Orlicz area
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Extra info for Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 10. Auflage
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Die Reihe ∑∞ n=0 x konvergiert f¨ alle |x| < 1 mit dem Grenzwert ∞ 1 ∑ xn = 1 − x . n=0 Beweis. F¨ur die Partialsummen gilt nach §1, Satz 6 sn = n ∑ xk = k=0 1 − xn+1 . d. 10) Beispiele. F¨ur x = ± 12 erh¨alt man die beiden Formeln 1 1 1 1 1 = 2, 1+ + + + +... = 2 4 8 16 1 − 1/2 1 1 2 1 1 1 = . 1− + − + ∓... = 2 4 8 16 1 + 1/2 3 § 4 Folgen, Grenzwerte 39 Satz 7 (Linearkombination konvergenter Reihen). Seien ∞ ∑ an n=0 ∞ und ∑ bn n=0 zwei konvergente Reihen reeller Zahlen und λ, μ ∈ R. Dann konvergiert auch die Reihe ∑∞ n=0 (λan + μbn ) und es gilt ∞ ∞ ∞ n=0 n=0 n=0 ∑ (λan + μbn) = λ ∑ an + μ ∑ bn .
Wenn an < bn f¨ur alle n, dann ist nicht notwendig lim an < lim bn , wie man an dem Beispiel der Folgen an = 0 und bn = 1n , (n 1), sieht, die beide gegen 0 konvergieren. § 4 Folgen, Grenzwerte 37 ¨ Beweis. Durch Ubergang zur Differenzenfolge (bn − an ) gen¨ugt es nach dem Corollar zu Satz 3, folgendes zu beweisen: Ist (cn ) eine konvergente Folge mit cn 0 f¨ur alle n, so gilt auch lim cn 0. Hierf¨ur geben wir einen Widerspruchsbeweis. W¨are dies nicht der Fall, so h¨atten wir lim cn = −ε n→∞ mit einem ε > 0 und es g¨abe ein N ∈ N mit |cn − (−ε)| < ε f¨ur alle n spruch cn < 0 f¨ur n N folgen w¨urde.
7) F¨ur jede reelle Zahl x hat man die Folge ihrer Potenzen: (xn )n∈N = (1, x, x2 , x3 , x4 , . . ) . Definition. Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a ∈ R, falls gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass |an − a| < ε f¨ur alle n N. Man beachte, dass die Zahl N von ε abh¨angt. Im Allgemeinen wird man N umso gr¨oßer w¨ahlen m¨ussen, je kleiner ε ist. Konvergiert (an ) gegen a, so nennt man a den Grenzwert oder den Limes der Folge und schreibt lim an = a oder kurz n→∞ lim an = a .