Download Ubungsbuch zur Analysis 1: Aufgaben und Losungen by Prof. Dr. Otto Forster, Rüdiger Wessoly (auth.) PDF

By Prof. Dr. Otto Forster, Rüdiger Wessoly (auth.)

Dieses Buch ist als Erganzung zu dem Lehrbuch research 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewahlten Aufgaben wurden Losungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genugend viele ungeloste Aufgaben als Herausforderung fur den Leser ubrig bleiben. Das Buch unterstutzt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prufungsvorbereitungen).
Diese Auflage wurde uberarbeitet, Druckfehler wurden korrigiert, eine Aufgabe inkl. Losung hinzugefugt.

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Fixed Point Theory in Modular Function Spaces

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This monograph presents a concise advent to the most effects and techniques of the mounted element idea in modular functionality areas. Modular functionality areas are ordinary generalizations of either functionality and series versions of many vital areas like Lebesgue, Orlicz, Musielak-Orlicz, Lorentz, Orlicz-Lorentz, Calderon-Lozanovskii areas, and others. often, rather in purposes to necessary operators, approximation and glued aspect effects, modular style stipulations are even more average and will be extra simply proven than their metric or norm opposite numbers. There also are very important effects that may be proved simply utilizing the equipment of modular functionality areas. the cloth is gifted in a scientific and rigorous demeanour that enables readers to know the main rules and to achieve a operating wisdom of the idea. although the paintings is basically self-contained, broad bibliographic references are incorporated, and open difficulties and additional improvement instructions are urged whilst applicable.

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Content point » Research

Keywords » mounted aspect - Iterative methods - Metric fastened aspect idea - Modular functionality house - Modular Metric area - Orlicz area

Fundamentals of Mathematical Analysis

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Mittelwertsatz. Konvexit¨at Aufgabe 16 A*. Es sei n ≥ 1 eine nat¨urliche Zahl. Man beweise, dass die Funktion f : R+ −→ R, f (x) = xn e−x , an einer einzigen Stelle, n¨amlich bei x = n, ihr (absolutes) Maximum annimmt. An dieser Stelle hat f zugleich das einzige relative Maximum. Aufgabe 16 B. F¨ur x ∈ R sei P(x) := 3 + 4(x − 1)2 und F(x) := P(x)e−x . 2 Man bestimme alle absoluten Extrema der Funktion F : R −→ R. Aufgabe 16 C. Sei f : R∗+ −→ R die durch f (x) = log x x definierte Funktion. a) Man bestimme alle lokalen und absoluten Extrema von f .

Die Funktion f : ]a − ε, a + ε[ −→ R sei zweimal differenzierbar. Man zeige f (a) = lim h→0 f (a + h) − 2 f (a) + f (a − h) . h2 Aufgabe 16 H*. (Verallgemeinerter Mittelwertsatz). Seien a, b ∈ R mit a < b und seien f , g : [a, b] −→ R zwei stetige Funktionen, die in ]a, b[ differenzierbar sind. Man zeige: Es existiert ein ξ ∈ ]a, b[, so dass ( f (b) − f (a))g (ξ) = (g(b) − g(a)) f (ξ). Aufgabe 16 I*. Mithilfe des verallgemeinerten Mittelwertsatzes beweise man die folgende Regel von de l’ Hospital, (vgl.

X 32 Aufgaben Aufgabe 14 H*. Sei x ∈ R. Die Folge (xn )n∈N werde rekursiv wie folgt definiert: xn . x0 := x, xn+1 := 1 + 1 + x2n Man zeige: lim (2n xn ) = arctan x. n→∞ Aufgabe 14 I. Man finde eine analoge Folge f¨ur arcsin x, wie f¨ur arctan x in Aufgabe 14 H. Aufgabe 14 J*. (vgl. Aufgabe 13 E). Man zeige, dass f¨ur jedes t ∈ R gilt exp 0 −t t 0 = cost − sint sint cost . Aufgabe 14 K. In C betrachte man die von dem Parameter c ∈ R abh¨angenden Geraden gc := {z ∈ C : Re(z) = c}, hc := {z ∈ C : Im(z) = c}.

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