By Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Dieses Buch nimmt Sie mit auf eine Entdeckungsreise durch die Welt der klassischen Geometrie: Beginnend beim Satz von Thales und den Apolloniuskreisen führt die Reise über Steiner'sche Kreisketten bis in die Welt der Kegelschnitte. Dabei werden verborgene Zusammenhänge aufgedeckt und Perlen der Elementargeometrie präsentiert. Hierbei werden Sie durch harmonische Verhältnisse geleitet, welche eine zentrale Rolle spielen und sich wie ein roter Faden durch das ganze Buch ziehen.
Einerseits ist dieses Buch für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der Geometrie geschrieben, andererseits ist es durch die leicht zugängliche Theorie und die kurzen Beweise besonders auch für Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe sowie Lehramtsstudierende geeignet.
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C E D P A F B P liegt innerhalb des Dreiecks P E D C A F B P liegt außerhalb des Dreiecks Umgekehrt: Gilt die obige Gleichung und liegen alle oder genau einer der Punkte D, E , F auf den Seiten a, b, c des Dreiecks, so schneiden sich die drei Geraden AD, BE ,C F in einem Punkt. 5 Sätze von Ceva und Menelaos 55 Beweis: Zuerst nehmen wir an, dass sich die drei Geraden AD, BE ,C F im Punkt P schneiden, und zeichnen in beiden Figuren eine Parallele zu AB durch C . Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit den Geraden AD und BE seien G und H : P D H C G E C H D P A G E F B A F B Mit dem 3.
4 P A 1 ⋅ P A 2 = P B 1 ⋅ P B 2 gilt, folgt wieder t12 = t22 und somit t1 = t2 . 6 geforderten Eigenschaften. Es stellt sich nun die Frage, ob es noch weitere solche Punkte P gibt, sodass die Tangentenabschnitte von P an zwei Kreise gleich lang sind. Folgender Satz gibt uns eine erste Antwort. 7 Gegeben seien zwei nicht-konzentrische Kreise mit den Mittelpunkten M 1 und M 2 und den Radien r 1 und r 2 , und sei P ein Punkt außerhalb der beiden Kreise. Weiter seien t1 und t2 die Längen der beiden Tangentenabschnitte von P an die beiden Kreise.
So besteht das Verdienst von O INOPIDES unter anderem darin, dass er als Erster diese Aufgabe durch bewusste Einschränkung der erlaubten Hilfsmittel zu Konstruktionen mit Zirkel und Lineal machte, was zu einem Kanon der griechischen Geometrie für alle ebenen Konstruktionen wurde. Peripheriewinkelsatz : Der Peripheriewinkelsatz war schon H IPPOKRATES VON C HIOS (Mitte des 5. Jahrhunderts v. ) bekannt, der im 5. Jahrhundert v. Chr. mit seiner Quadratur der „Kreismöndchen“ einen hervorragenden geometrischen Beitrag geleistet hat.