By Hilgert J.
Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.
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Example text
8 : Sei f : R → R eine Funktion, die die Cauchysche Funktionalgleichung f (x + y) = f (x) + f (y) f¨ ur alle x, y ∈ R erf¨ ullt. Zeige: Falls der Grenzwert lim f (x) existiert, so existiert auch der Grenzwert lim f (x) x→0 f¨ ur jedes a ∈ R. 9 : Berechne die folgenden Limites. (i) 2 lim x +x , x→−1 x+1 x2 . 10 : Berechne den folgenden Grenzwert: lim x→1 1 3 − 1−x 1 − x3 . 11 : Berechne die folgenden Limites. (i) lim 1 (x+h)2 h→0 (ii) (iii) h − 12 x , h→0− lim |x+h|−|x| , h lim |x+h|−|x| . 12 : Es seien a0 , .
6 : Entscheide, ob die folgenden Grenzwerte existieren und berechne sie gegebenenfalls. x . 7 : Sei 1 0 f (x) := falls x rational, falls x irrational. Zeige, daß der Grenzwert lim f (x) f¨ ur kein a ∈ R existiert. 8 : Sei f : R → R eine Funktion, die die Cauchysche Funktionalgleichung f (x + y) = f (x) + f (y) f¨ ur alle x, y ∈ R erf¨ ullt. Zeige: Falls der Grenzwert lim f (x) existiert, so existiert auch der Grenzwert lim f (x) x→0 f¨ ur jedes a ∈ R. 9 : Berechne die folgenden Limites.
Dann gilt f¨ ur a, b, c, d ∈ Z (i) a < b ⇒ a + c < b + c. (ii) (a < b, c < d) ⇒ a + c < b + d. (iii) (a < b, 0 < c) ⇒ ac < bc. (iv) (a < b, c < d, 0 < b, 0 < c) ⇒ ac < bd. 26 KAPITEL 1. 4. 6 impliziert dies (b + c) − (a + c) = b − a ∈ P also a + c < b + c. (ii) Mit (i) findet man a + c < b + c < b + d, also wegen der Transitivit¨at a + c < b + d. 14 findet man bc − ac = (b − a)c ∈ P , also ac < bc. 4, ac < bd. Die Einteilung des Zahlbereichs Z in positive und negative Zahlen (und 0) erlaubt die Einf¨ uhrung eines Absolutbetrags |a| (oft sagt man einfach nur Betrag) einer Zahl a ∈ Z: |a| := a −a f¨ ur a ≥ 0 f¨ ur a < 0.