By F R Nevanlinna
Das vorliegende Werk ist als Ergebnis von Vorlesungen entstanden, welche die Verfasser seit 1953 im Laufe von mehreren Jahren an den Universitäten Helsinki und Zürich gehalten haben. Die nachfolgende Einleitung gibt über die Tendenzen Aufschluß, die für unsere Darstellung der Grundlagen einer absoluten, koordinaten- und dimensionsfreien Infinitesimalrechnung maßgebend gewesen sind. Die Lektüre setzt an Vorkenntnissen nur wenig voraus; sie kann jedem Studierenden emp fohlen werden, der mit dem üblichen, auf die Benutzung von Koordi naten fußenden Aufbau der Elemente der analytischen Geometrie, der Differential- und Integralrechnung und der Theorie der Differential gleichungen vertraut ist. Unsere Arbeit ist durch die Hilfe wesentlich erleichtert worden, die uns von mehreren Seiten zuteil geworden ist. Herr Ilppo Simo Louhi vaara hat von Anfang bis zu Ende an der Herstellung dieses Werkes mit unermüdlichem Interesse und minutiöser Sorgfalt teilgenommen und durch zahlreiche sachliche und formelle Bemerkungen und Vor schläge unsere Arbeit wesentlich gefördert. Für seine wertvolle, auf opfernde Unterstützung sprechen wir hier unseren herzlichen Dank aus. Den Herren H. Keller, T. Klemola, T. Nieminen, Ph. Tondeur und ok. 1. Virtanen, die unsere Darstellung im Manuskript gelesen haben, verdanken wir verschiedene wichtige kritische Bemerkungen. Unser Dank gilt auch Herrn Professor Dr. F. okay. Schmidt für die Aufnahme dieses Werkes in die Reihe der Grundlehren der mathema tischen Wissenschaften, und dem Springer-Verlag, der unseren Wünschen mit freundlicher Bereitwilligkeit entgegengekommen ist.
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Bilineare und quadratische Funktionen 41 4. Man beweise, falls B x Y in Rm positiv definit ist, die sogenannte Besselsche Ungleichung Bp2 ~ B x 2, wo p die in bezug auf B orthogonale Projektion von x auf U bezeichnet, und zeige ferner, daß die sogenannte Parsevaische Gleichung Bp2 = B x2 nur für x = p besteht. 5. Es sei Bx y eine nichtausgeartete bilineare Funktion in Rm und T x eine lineare Transformation von Rm, T* x deren adjungierte Transformation in bezug auf B. Man beweise, daß die Kerne dieser Transformationen dieselbe Dimension haben.
4. Man zeige, daß allgemein für jedes k (1 :S: k < m) der Quotient qk= D 1 Xl ... xm I", i l 2: < ... < i k ;;;; m DXI· .. Txil .. ·Txl",Xrn k von den Vektoren Xl' . . m - k des Polynoms m-ten Grades det(T - ),,1) = det(r~ - )"b~), wo I die identische Transformation bezeichnet. Bemerkung. Es ist insbesondere m ql = D 1 Xl' .. Xm 2: D Xl . . Xi i =1 gleich der Spur Sp T == 1 T X, Xi +1 . . X rn m :2,' i= 1 r~ der Transformation T (oder der Matrix (rn). 5. oD = 0 genügt (vgl. 10 Aufgaben 9-10).
Oe1) ( : : = (oe}) oe:" ... ::, hat umgekehrt die Spaltenvektoren xi und die Zeilenvektoren Yi' Mittels der Gleichungen A ai = Yi (i = 1, ... ,m), A * bi = Xj (j = 1, ... ,n) definieren wir in R'; und R~ die linearen Abbildungen A und A * und bezeichnen deren Kerne der Dimensionen p ~ m bzw. q ~ n mit K~ = K~(A) und K~ = K~(A*); es ist somit Ax = 0 bzw. A*y = 0 genau dann, wenn x in K~ bzw. Y in K~ liegt. Man beweise, daß die Dimension dirn A R'(; = m- p= n - q= dirn A * R~. Beweis. Es ist A eine reguläre lineare Abbildung des Faktorraumes R';IK~ in R~, folglich dimA R'(; == dimA (R'(;IK~) = m - p; desgleichen ist dimA* R~ = dimA*(R~/K~) = n - q.